Structures de réalisabilité, RAM et ultrafiltre sur N

On montre ici comment transformer en programmes les démonstrations utilisant l’axiome du choix dépendant et l’existence d’un ultrafiltre non trivial sur N (qu’on peut, de plus, supposer sélectif ). La méthode est une extension de la technique de réalisabilité en logique classique introduite dans [3,4,5], et de la méthode du forcing bien connue en théorie des ensembles. Pour simplifier un peu l’exposé, on prend comme cadre axiomatique, l’arithmétique du second ordre classique avec axiome du choix dépendant (qu’on appelle aussi l’Analyse). En suivant les idées développées dans [2], on peut étendre ce résultat à la théorie ZF (avec axiome du choix dépendant) en ajoutant l’axiome de l’ultrafiltre : “ il existe un ultrafiltre sur toute algèbre de Boole ”. On le fera dans un prochain article, où on traitera également des axiomes comme : “ il existe un bon ordre sur P(N) dont tout segment initial est dénombrable ”, ou “ il existe un bon ordre sur P(P(N)) ”. En fait, il est clair que la même méthode permet de traiter l’axiome du bon ordre (c’està-dire l’axiome du choix). Mais, à ce jour, je n’en ai pas rédigé la démonstration. La signification informatique de ces résultats est intéressante : on a vu, dans [3,4,5], que l’on pouvait interpréter l’axiome du choix dépendant en introduisant une nouvelle instruction de signature ou d’horloge. Pour interpréter l’axiome d’ultrafiltre ou de bon ordre, il faut maintenant ajouter des instructions de lecture et d’écriture dans unemémoire globale (appelée aussi “ tas ”ou “ Random Access Memory ”en informatique). Mais la manipulation logique de ces instructions n’est possible qu’au prix d’une extension de la réalisabilité classique ; c’est pourquoi on introduit la notion générale de structure de réalisabilité. Il est remarquable que les axiomes pour les conditions de forcing (semi-treillis) s’interprètent ici comme les indispensables programmes de gestion de la mémoire. Yves Legrandgérard a fait le rapprochement avec les instructions telles que malloc et free dans le langage C. Or, la propriété essentielle de la mémoire globale est d’être indépendante de la pile, c’est-à-dire qu’elle n’est pas mémorisée par l’instruction cc associée au raisonnement par l’absurde. Il est amusant de noter que cela explique, a posteriori, une constatation empirique bien connue des théoriciens des ensembles, qui est le “ parfum intuitionniste ”du forcing.